¿Te confunden los números racionales e irracionales? Descubre en este artículo todo lo que necesitas saber sobre estos conceptos matemáticos.
Los números racionales e irracionales son conceptos fundamentales en matemáticas, pero pueden ser confusos para algunos. En este artículo, te explicaremos qué son estos números, cómo diferenciarlos y cómo se utilizan en la vida cotidiana.
En matemáticas, un número racional es un tipo de número real, que está en la forma de p/q donde q no es igual a cero. Cualquier fracción con denominadores no nulos es un número racional. Algunos de los ejemplos de números racionales son 1/2, 1/5, 3/4, y así sucesivamente. El número “0” también es un número racional, ya que podemos representarlo en muchas formas tales como 0/1, 0/2, 0/3, etc. Pero, 1/0, 2/0, 3/0, etc. no son racionales, ya que nos dan valores infinitos. Además, revisa los números irracionales aquí y compáralos con los numerales racionales.
En este artículo, aprenderemos sobre qué es un número racional, las propiedades de los números racionales junto con sus tipos, la diferencia entre números racionales e irracionales, y ejemplos resueltos. Ayuda a entender los conceptos de una mejor manera. Además, aprende los diversos ejemplos de números racionales y aprende cómo encontrar números racionales de una mejor manera. Para representar números racionales en una línea numérica, necesitamos simplificar y escribir en forma decimal primero.
¿Qué son los números racionales?
Un número racional, en Matemáticas, puede definirse como cualquier número que puede representarse en la forma de p/q donde q ≠ 0. Además, podemos decir que cualquier fracción encaja en la categoría de números racionales, donde el denominador y el numerador son enteros y el denominador no es igual a cero. Cuando se divide el número racional (es decir, la fracción), el resultado será en forma decimal, que puede ser un decimal terminante o un decimal repetitivo.
¿Cómo identificar números racionales?
Para identificar si un número es racional o no, verifica las siguientes condiciones.
Se representa en la forma de p/q, donde q≠0. La razón p/q puede simplificarse aún más y representarse en forma decimal. El conjunto de numerales racionales:
Incluye números positivos, negativos y cero Se pueden expresar como una fracción
Ejemplos de números racionales:
| p | q | p/q | racional |
| 20 | 10 | 20/10 = 2 | racional |
| 10 | 1000 | 10/1000 = 0.010 | racional |
| 80 | 10 | 80/10 = 8 | racional |
Tipos de Números Racionales
Un número es racional si podemos escribirlo como una fracción, donde tanto el denominador como el numerador son enteros y el denominador es un número distinto de cero.
El siguiente diagrama nos ayuda a entender más sobre los conjuntos de números.
- Los números reales (R) incluyen todos los números racionales (Q).
- Los números reales incluyen los enteros (Z).
- Los enteros involucran números naturales (N).
- Todo número entero es un número racional porque todo número entero puede expresarse como una fracción.
Forma Estándar de Números Racionales
La forma estándar de un número racional puede definirse si no tiene factores comunes, aparte de uno, entre el dividendo y el divisor y si el divisor es positivo.
Por ejemplo, 12/36 es un número racional. Pero puede simplificarse como 1/3; los factores comunes entre el divisor y el dividendo son solo uno. Por lo tanto, podemos decir que el número racional ⅓ está en forma estándar.
Números racionales positivos y negativos
Como sabemos, el número racional tiene la forma p/q, donde p y q son números enteros. Además, q debe ser un número entero distinto de cero. El número racional puede ser positivo o negativo. Si el número racional es positivo, tanto p como q son números enteros positivos. Si el número racional toma la forma -(p/q), entonces p o q toma el valor negativo. Esto significa que
-(p/q) = (-p)/q = p/(-q).
Números Racionales Positivos y Negativos
Como sabemos que el número racional está en la forma de p/q, donde p y q son enteros. Además, q debe ser un entero no nulo. El número racional puede ser positivo o negativo. Si el número racional es positivo, tanto p como q son enteros positivos. Si el número racional toma la forma -(p/q), entonces o bien p o q toman el valor negativo. Esto significa que
-(p/q) = (-p)/q = p/(-q).
Ahora, discutamos algunos de los ejemplos de números racionales positivos y negativos.
| números racionales positivos | números racionales negativos |
| Si tanto el numerador como el denominador son del mismo signo. | Si el numerador y el denominador son de signos opuestos. |
| Todos son mayores que 0 | Todos son menores que 0 |
| Ejemplos de números racionales positivos: 1/5, 36/12 y 4/37 | Ejemplos de números racionales negativos: -4/19, 3/-11 y -8/5. |
Operaciones Aritméticas en Números Racionales
En matemáticas, las operaciones aritméticas son las operaciones básicas que realizamos en los enteros. Discutamos aquí cómo podemos realizar estas operaciones en números racionales, digamos p/q y s/t.
Adición: Cuando sumamos p/q y s/t, necesitamos hacer el denominador igual. Por lo tanto, obtenemos (pt+qs)/qt.
Ejemplo: 1/2 + 3/4 = (2+3)/4 = 5/4
Sustracción: De manera similar, si restamos p/q y s/t, también necesitamos igualar el denominador primero, y luego hacer la sustracción.
Ejemplo: 1/2 – 3/4 = (2-3)/4 = -1/4
Multiplicación: En el caso de la multiplicación, al multiplicar dos números racionales, se multiplican respectivamente el numerador y el denominador de los números racionales. Si p/q se multiplica por s/t, entonces obtenemos (p×s)/(q×t).
Ejemplo: 1/2 × 3/4 = (1×3)/(2×4) = 3/8
División: Si p/q se divide por s/t, entonces se representa como: (p/q) ÷ (s/t) = pt/qs
Ejemplo: 1/2 ÷ 3/4 = (1×4)/(2×3) = 4/6 = 2/3
Inverso Multiplicativo de Números Racionales
Como el número racional se representa en la forma p/q, que es una fracción, entonces el inverso multiplicativo del número racional es el recíproco de la fracción dada.
Por ejemplo, 4/7 es un número racional, entonces el inverso multiplicativo del número racional 4/7 es 7/4, tal que (4/7)x(7/4) = 1
Números Racionales y Números Irracionales
Hay una diferencia entre los números racionales y los irracionales. Una fracción con denominadores distintos de cero se llama número racional. El número ½ es un número racional porque se lee como el número entero 1 dividido por el número entero 2. Todos los números que no son racionales se llaman irracionales. Consulta el siguiente cuadro para diferenciar entre racional e irracional.
Los racionales pueden ser positivos, negativos o cero. Al especificar un número racional negativo, el signo negativo está ya sea al frente o con el numerador del número, que es la notación matemática estándar. Por ejemplo, denotamos el negativo de 5/2 como -5/2.
Un número irracional no puede escribirse como una fracción simple, pero puede representarse con un decimal. Tiene infinitos dígitos no repetitivos después del punto decimal. Algunos de los números irracionales comunes son:
Pi (π) = 3.142857…
Número de Euler (e) = 2.7182818284590452…….
√2 = 1.414213…
¿Cómo Encontrar los Números Racionales entre Dos Números Racionales? Hay un número infinito de números racionales entre dos números racionales. Los números racionales entre dos números racionales pueden encontrarse fácilmente usando dos métodos diferentes. Ahora, veamos los dos métodos diferentes.
Método 1:
Encuentra la fracción equivalente para los números racionales dados y encuentra los números racionales entre ellos. Esos números deberían ser los números racionales requeridos.
Método 2:
Encuentra el valor medio para los dos números racionales dados. El valor medio debería ser el número racional requerido. Para encontrar más números racionales, repite el mismo proceso con los números racionales antiguos y los recién obtenidos.
ejemplos resueltos de numeros racionales
Ejemplo 1: Encuentra un número racional entre 1/2 y 3/4.
Usaremos el Método 2 mencionado anteriormente, que es encontrar el valor medio.
Media = (1/2 + 3/4) / 2 = (4/4 + 6/4) / 2 = 10/8 / 2 = 5/8
Por lo tanto, 5/8 es el número racional que se encuentra entre 1/2 y 3/4.
Ejemplo 2: Simplifica el número racional 42/56.
Para simplificar el número racional, debemos encontrar el Máximo Común Divisor (MCD) de 42 y 56.
El MCD de 42 y 56 es 14.
Entonces, 42/56 se simplifica a 42/14 / 56/14 = 3/4.
Por lo tanto, 3/4 es la forma simplificada del número racional 42/56.
Ejemplo 3: Comprueba si el número -7/9 es un número racional.
Un número es racional si puede escribirse como una fracción donde el numerador y el denominador son números enteros y el denominador no es cero.
Aquí, -7 es un número entero (numerador) y 9 también es un número entero y no es cero (denominador). Entonces, -7/9 es un número racional.
Recuerda, los números racionales incluyen tanto números positivos como negativos, así como el cero. Los ejemplos presentados aquí tienen el objetivo de clarificar estos conceptos básicos de los números racionales y ayudarte a entenderlos de una mejor manera. Con práctica y comprensión, se pueden manejar eficientemente en diversas aplicaciones matemáticas.
PREGUNTAS FRECUENTES
- ¿Qué es un número racional?
Un número racional es cualquier número que puede representarse como una fracción p/q, donde p y q son enteros y q no es cero.
2. ¿Cuáles son los tipos de números racionales?
Los números racionales pueden ser positivos, negativos o cero. También pueden clasificarse como fracciones propias, fracciones impropias y números mixtos.
3. ¿Qué significa que un número racional esté en forma estándar?
Un número racional está en forma estándar si no tiene factores comunes, aparte de uno, entre el numerador y el denominador, y si el denominador es positivo.
4. ¿Cómo se suman y se restan los números racionales?
Para sumar o restar números racionales, debemos tener el mismo denominador en ambos números. Si los denominadores no son iguales, encontramos un denominador común y luego sumamos o restamos los numeradores.
5. ¿Qué es el inverso multiplicativo de un número racional?
El inverso multiplicativo de un número racional es el recíproco de ese número. Por ejemplo, el inverso multiplicativo de 4/7 es 7/4.
6. ¿Son los números enteros también números racionales?
Sí, los números enteros son también números racionales porque pueden expresarse como una fracción. Por ejemplo, el número entero 5 puede expresarse como 5/1, que es la forma de un número racional.
7. ¿Cómo se encuentran los números racionales entre dos números racionales?
Hay dos métodos principales: encontrar la fracción equivalente para los números racionales dados y encontrar el valor medio de los dos números racionales